quarta-feira, 17 de dezembro de 2014

A Epiciclóide

       A epiciclóide é definida como a trajetória de um ponto P, fixo a uma circunferência de um círculo de raio r, que rola exteriormente, sem deslizar e com velocidade constante, sobre a circunferência exterior de outro círculo fixo de raio R. No applet abaixo pode-se variar os valores dos raios dos círculos, além de poder restringir o número de voltar que círculo rolante dá sobre o fixo, usando o controle deslizante n.







     A epiciclóide pode ser vista como uma generalização da ciclóide, onde troca-se a reta, na qual um círculo rola, por outro círculo fixado. E como o círculo, rola sobre a circunferência exterior do fixo, o que explica o nome de epiciclóide, visto que epi vem do grego (sobre ou acima). 

    Entre alguns dos nomes que estudaram, a epiciclóide, se encontram: Alberto Durero (1471-1528), Girard Desargues (1591-1661), Isaac Newton (1642-1727), Jacob Bernoulli (1654-1705) e Leonhard Euler (1707-1783).

Parametrização


   Para determinar a parametrização, da epiciclóide, iremos considerar como origem do sistema cartesiano o centro O do círculo fixo. Por definição, os círculos são tangentes, com isso temos que, o ponto de tangência A, esta sobre o segmento OO', onde O’ é o centro do círculo rolante. Para determinar as coordenadas do ponto P, iremos analisar as coordenadas do ponto O’, e assim encontrar as coordenadas de P, em relação a O’. Tomaremos, que no início do movimento o ponto P, coincidia com o ponto de tangência, com coordenadas (R, 0), conforme figura 1.

Figura 1: Epiciclóide




          Primeiramente, toma-se como parâmetro o ângulo t formado, entre o segmento OO' e o eixo x positivo. Assim sendo as coordenadas do ponto O' são dadas por:





           Sendo B = (R, 0), o ponto de partida do ponto P, como não ocorre deslizamento no movimento, temos que para qualquer ângulo t, os arcos AB e AP possuem a mesma medida. E com isso temos que o ângulo α = OÔ’P é igual a:





           E considerando a reta perpendicular ao eixo x passando por O', temos também que o ângulo entre HÔ’P, onde H é o pé da perpendicular sobre o eixo x, é igual a:





          E com isso, podemos determinar as coordenadas do ponto P, que são:





          Usando as propriedades de diferença de arcos temos:



O traço da epiciclóide 


       O traço da epiciclóide, é sensível a razão m = R ⁄ r. Se m for um número inteiro, então o traço será constituído por m ramos, que não se cruzaram, possuindo também m cúspides, que são os contatos da curva com círculo fixo. A figura 2, apresenta um exemplo.

Figura 2: Epiciclóide de razão m = 8

      Se m, for uma fração do tipo a ⁄ b com mdc(a,b) = 1, com b ≠ 1, então o traço terá a ramos que se cruzam. E se m for um número irracional, então ao contrário dos outros dois casos, a curva não será fechada, não possuindo assim um período. A figura 3, apresenta uma exemplo.

Figura 3: Epiciclóide de razão m = 5/2

 Epiciclóide reduzida e alongada

         E como na ciclóide, pode-se generalizar fixando se uma haste de comprimento c, sobre o raio que contém o ponto P, de tal forma que uma das extremidades da haste coincida com o centro O' do círculo rolante. O lugar geométrico descrito pela outra extremidade da haste, quando o círculo rola, tem como equações paramétricas:





       E quando r > c, chama-se a curva de epiciclóide reduzida, e quando r < c chama-se de epiciclóide alongada ou epitrocoide. No applet, abaixo, pode-se manipular os valores R, r, c, e ver como fica o traço da curva.






Casos Especiais

       Há dois casos especiais da epiciclóide, quando R = r, tem-se a cardióide, conforme a figura 4.

Figura 4: Cardióide


Quando R = 2r, tem-se a nefroide, conforme a figura 5.

 
Figura 5: Nefróide 


     O primeiro a atribuir o nome cardióide a curva foi Francesco de Castillon (1704-1791). Seu nome é devido a sua semelhança com um coração: da palavra grega kardia (coração) e eidos (forma). 

      E o nome da nefróide tem sua origem no termo grego nephros, que significa forma de rim, e foi empregado por Proctor em 1878. Essa curva começou a ser estudada por Huygens e Tschirnhausen em 1679. Alguns anos depois, os irmãos Bernoulli dedicaram seus esforços: Jacob Bernoulli em 1692 e Daniel Bernoulli em 1725.



A Ciclóide

       A ciclóide é definida como o lugar geométrico do ponto fixo P da circunferência de um círculo de raio a, que rola com velocidade constante e sem deslizar sobre uma reta de um mesmo plano que o círculo.





      O primeiro a estudar a ciclóide foi Nicolás de Cusa (1401-1464), em 1450, quando tentava encontrar a área de um círculo por integração. Marin Mersenne (1588-1648), deu a primeira definição própria da ciclóide e expressou algumas propriedades elementares, como por exemplo: que a distância entre duas cuspides adjacentes é igual a circunfêrencia do círculo rolante. Mersenne tentou encontrar a área abaixo da curva por integração, porém não obteve sucesso, e nisso, em 1615, propôs a questão a outros matemáticos. O nome, ciclóide, foi atribuído por Galileu Galilei (1564-1642) em 1599. Que estudou suas propriedades durante 40 anos, escrevendo sobre a ciclóide para Evangelista Torricelli (1608-1647), em 1639.

      A ciclóide é a solução para um famoso problema: Determinar entre todas as curvas lisas de um plano vertical, a que une dois pontos P e P’, estando o primeiro acima do segundo, na qual uma partícula deslizará de P a P’ no menor tempo possível. Esse problema foi resolvido por Johann Bernoulli em 1696 e recebeu o nome de problema da Braquistócrona (do grego tempo mais curto). A solução também foi apresentada por Leibniz (1646-1716), Newton (1642-1727), Jacob Bernoulli (1654-1705) e L’Hôspital (1661-1704).


Parametrização


      Para a parametrização da ciclóide, partiremos que o ponto P está na origem do sistema cartesiano e o eixo x é a reta na qual o círculo de raio r rola:





Quando o círculo gira um ângulo t, seu centro O se move um comprimento BA. E como não existe deslizamento no movimento, temos que o arco AP tem a mesma medida que o segmento BA, que mede rt. Como P pertence a circunferência do círculo, temos também que: OA = r, OC = r cos(t) e PC = r sin(t). E com isso, as equações paramétricas da ciclóides são:





       Ciclóide reduzida e Alongada


     Uma generalização, é fixar uma haste de comprimento b, sobre o raio que contém o ponto P, de tal forma que uma das extremidades da haste coincida com o centro O do círculo. O lugar geométrico descrito pela outra extremidade da haste, quando o circulo rola, tem como equações paramétricas:



     Quando b menor que r chama-se a curva de ciclóide reduzida ou encurtada e quando b maior que r chama-se de ciclóide alongada. Manipule o applet  abaixo e veja como ficam essas curvas.

A hipérbole

           Dados, dois pontos no plano, F e F' nomeados focos. Um ponto P, que se move no plano de forma que a diferença das distâncias dos focos ao ponto P, se mantém constante, igual a 2a. descreve no plano um ramo de uma hipérbole.

       Se as coordenadas dos focos dados são: (-c,0) e (c,0), para c > 0 então se P = (x,y) temos que:






          Simplificando a equação acima , temos a equação cartesiana de uma hipérbole:





          

         Um mecanismo que traça hipérbole é o Hiperbológrafo de Delaunay, constituído por um losango ABCD articulado, três retas, concorrentes num mesmo ponto O, das quais duas são perpendiculares entre si, e a outra é obliqua. Na reta obliqua, tem-se um ponto M, o qual esta ligado, por segmentos de mesma medida e menor que a medida do losango, aos vértices A e C do losango, os quais estão sobre uma das outras duas retas. Com isso, a medida que o ponto M se move na reta obliqua, ele movimenta os vértices A e C sobre outra reta. Nos vértices B e D, encontram-se lapiseiras, as quais traçam, cada uma, um ramo da hipérbole.





               

     Será que se trata mesmo de uma hipérbole? Vamos mostrar que o mecanismo traça, de fato, uma hipérbole. Para isso, escolhendo as duas retas do mecanismo, perpendiculares entre si, como os eixos de um sistema de coordenadas retangulares, mostraremos que as coordenadas dos pontos que traçam a curva, respeitam a equação cartesiana de uma elipse.


     Designando como o eixo das ordenadas o reta na qual se movem os vértices A e C, e o ponto O, que é a intersecção entre as três retas do mecanismo, será a origem do sistema de eixos. E portanto como o eixo das abscissas a reta perpendicular a ela. 


     Considerando a diagonal BD, das propriedades de um losango, sabemos que o segmento BD, está contido na mediatriz do segmento AC, e que portanto é perpendicular ao eixo das ordenadas. Como M é equidistante dos pontos A e C ele também pertence a mediatriz do segmento AC. As coordenadas dos pontos M, B, D são respectivamente (x',y), (-x,y) e (x,y).


    E temos que o ponto M pertence a uma reta que passa pela origem portanto suas coordenadas, respeitam uma equação do tipo: y = kx, onde k é um número real, não nulo. Disso tiramos que suas coordenadas são: ( y/k, y).

       Agora sendo u a medida dos lados do losango e v a medida dos segmentos AM e CM, note que com isso u > v. E sendo S a intersecção das diagonais AC e BD, temos, pelo triângulo retângulo SAD, que:



       E pelo triângulo retângulo SAM temos que:

       Então subtraindo a segunda da primeira temos que:


      Dividindo ambos os membros da equação por (u² - v²) temos que:




         Fazendo a² = u² - v² e b² = k²(u² - v²) temos que:





         

   Isso para as coordenadas do ponto D, porém temos que as coordenadas do ponto B são (-x,y), que respeitarão a mesma equação a cima, visto que (-x)² = x².

    Agora analisemos um pouco o mecanismo, a medida a determina o valor do semi-eixo da hipérbole, e são os tamanhos dos lados do losango e do segmento AM, que determinam o valor de a E se nos perguntarmos quais os elementos que determinam as coordenadas dos focos, sabemos que os focos possuem coordenadas (-c,0) e (c,0) onde c² = a² + b². E com isso, analisando veremos que as coordenadas dos focos dependem da inclinação k da reta onde o ponto M se desloca, além é claro das medidas dos lados do losango e do segmento AM.


Parametrização

      Considerando as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico dadas, respectivamente, por


Como cosh²(t) - senh² (t) = 1, podemos parametrizar o ramo direito da hipérbole pelo traço da curva α definida pelas seguintes equações paramétricas:


Aplicação


      A hipérbole tem como propriedade refletora que se a partir de qualquer ponto C for direcionado um sinal a um dos focos, estando este foco no lado oposto a um dos ramos da curva, em relação ao ponto C, então o sinal ao incidir sobre um ramo da hipérbole, será refletido tomando a direção do outro foco. O applet, abaixo, apresenta esta propriedade, onde os controles deslizantes a e b referem-se aos coeficientes da equação cartesiana mencionada acima.





    Uma aplicação dessa propriedade, são os telescópios de reflexão. Os quais são constituídos basicamente por dois espelhos, um maior, chamado de primário, o qual é parabólico, e um menor, hiperbólico. Os espelhos são dispostos, de forma que os eixos da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da primeira coincida com um dos focos da segunda.


  Quando os raios de luz paralelos ao eixo da parábola, são refletidos pelo espelho primário são dirigidos ao foco, pela propriedade refletora da parábola. E como este também é foco da hipérbole, pela propriedade refletora da hipérbole os raios de luz são refletidos e dirigidos ao outro foco da hipérbole. Os raios passam por um orifício, no centro do espelho primário, atrás do qual encontra-se um lente ocular que permite corrigir a trajetória da luz, que chega finalmente aos olhos do observador ou à película fotográfica.

A Elipse

     Dados dois pontos no plano, F e F', nomeados como focos, um ponto P , que se move no plano de forma que a soma das distâncias dos focos ao ponto P, se mantém sempre igual a uma constante 2a, descreve uma elipse.

Mecanismo Articulado


    Um dos mecanismos mais utilizados para traçar elipses foi o Elipsógrafo de Arquimedes. Apesar do seu nome, não existem nenhum documento que ateste sua autoria, por este matemático. Todavia, Arquimedes foi um grande mecânico e construiu mecanismos muito mais complexos que o elipsógrafo. Abaixo, o vídeo apresenta tal mecanismo.





     A reprodução do elipsógrafo de Arquimedes no GeoGebra, é constituída por uma semirreta, na qual o ponto L representa a lapiseira do mecanismo. A semirreta é fixada em dois pontos A e B móveis, os quais se movem sobre dos segmentos fixos e perpendiculares. Com isso, ao passo que se move a semirreta, como a distância entre A e B é fixa, estes pontos se movem sobre os segmentos para manter essa distância. Nesse movimento o ponto L traça a elipse. E para realizar tal movimento no GeoGebra o ponto B teve suas coordenadas associadas a um controle deslizante t, de modo que ao variar esse controle, o ponto B percorre o um segmento fixo, e com isso dando movimento a reprodução. Ao selecionar, a caixa “conferir se é uma elipse” são exibidos, os focos e F' , os segmentos PF e PF' e um texto dinâmico no qual pode se verificar que a soma das distância do ponto L aos focos se mantém constante.









        O applet acima possui movimento, para ativá-lo basta clicar no botão no canto inferior esquerdo, ou variar o controle deslizante t.
       No elipsógrafo de Arquimedes os focos não são pontos do mecanismo, como no caso do parabológrafo, então para criá-los afim de realizar a verificação, primeiro precisamos determinar qual é a elipse que o mecanismo esta traçando.

       Tomando como origem do plano cartesiano, a intersecção dos segmentos perpendiculares fixos. E considerando que a medida dos segmentos LB e LA, sejam respectivamente a e b, e o ângulo α que a semirreta faz com o segmento fixo horizontal, das coordenadas do ponto L tiramos as seguintes equações:


      Elevando se ambas as equações ao quadrado e as somando temos:
          Logo, 


          Chegamos assim, na equação cartesiana de uma elipse. De acordo com o sistema cartesiano adotado, temos que os focos são os pontos F = (-c , 0) e F' = (c, 0), onde c² = a² - b².

Parametrização




Para determinar as equações paramétricas de uma elipse, com focos F = (-c, 0), F’ = (c, 0) de modo que a soma das distância dos pontos L da elipse aos focos seja 2a, vamos considerar duas circunferência de centro na origem de raio a e b, onde b² = a² - c². Note que isso implica que a > b

O applet abaixo apresenta uma elipse entre duas circunfências especificadas acima, ao alterar os controles deslizantes a e c altera-se a elipse.








         Com isso, seja um ponto L = (x, y) da elipse, por ele traçamos uma perpendicular ao eixo das abscissas que intercepta a circunferência de raio a em um ponto C = (x,y’) no mesmo quadrante. 

        Considerando o ângulo α, formado entre o segmento OC, onde O é a origem do plano cartesiano, com o eixo x positivo, temos:


         E portanto 

              Como L é um ponto da elipse então:


               Logo, 


        Com isso podemos concluir, que a paralela ao eixo x passando por L, intercepta o segmento OC, no ponto D, o qual é a intersecção da circunferência de raio b com o segmento OC.
         E portanto a elipse, tem como equações paramétricas:


Aplicação

       O primeiro a estudar a elipse foi Menecmo (380-320 a.c). Os focos de uma elipse foram estudados por Pappus de Alexandria. A elipse foi aplicada na teoria de movimentos de planetas, por Johannes Kepler (1571-1630).

terça-feira, 16 de dezembro de 2014

A Parábola

A parábola é descrita pela trajetória, em um plano, de um ponto P que se mantém equidistante de um ponto F, nomeado como Foco, e de uma reta desse plano, nomeada por reta diretriz.


Mecamismo Articulado



Assim como foi concebido o compasso, para traçar uma circunferência, tem se o parabológrafo (figura 1),  que traça parte de uma parábola. 

Figura 1: Parabológrafo



Uma reprodução do parabológrafo, no GeoGebra, se baseia em um losango ABCD articulado nos vértices, cujos lados possuem um comprimento fixo, o foco da parábola é o vértice B o qual é fixado, o vértice oposto D percorre a reta diretriz. E os vértices A e C se movem, e variam os ângulos do losango. E completando o mecanismo, um segmento perpendicular a reta diretriz que intercepta a diagonal AC, no ponto P, o qual é o local onde é alocada no mecanismos  a lapiseira, que traçará a parábola. A seguir, tem-se um applet da reprodução do mecanismo no GeoGebra. Para fazer uso dele, basta movimentar o ponto D sobre a reta.



        Para limpar o rastro no applet use: Ctrl + F. Assim quiser mover o ponto B, que representa o foco, ou a reta diretriz, limpe o traço, ou desabilite o traço do ponto P.

        
Note que, o mecanismo usa o fato da diagonal AC estar contida na mediatriz do segmento BD, que é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das extremidades do segmento BD. E veja a versão real do parabológrafo, abaixo:


Observe que não foram reproduzidos todos os elementos do parabológrafo acima no GeoGebra, porém os que não estão reproduzidos são meros suportes do mecanismo real, que no GeoGebra não são necessários visto que construímos os elementos com as propriedades necessárias.

Parametrização


Para a parametrização da parábola, consideremos primeiramente que o foco tenha as coordenadas (0, p/2), onde p é a distância do foco a reta diretriz. Neste caso, teremos que o vértice da parábola terá coordenadas (0, 0), ou seja, será a origem do plano cartesiano. Com isso, o ponto P  que descreve a parábola, terá coordenadas (x, y) . 





No applet acima, observe que controle deslizante p determina a distância entre o foco F e a reta diretriz r. E quanto maior seu valor, maior é a abertura da parábola.


Para parametrização, toma-se o parâmetro t , como sendo a abscissa do ponto P. E sendo D a projeção do ponto P, sobre a reta diretriz, sabe-se que:




e





     Como pela definição da parábola os segmentos PD e PF possuem a mesma medida então:












       E portanto as equações paramétricas são:




E para encontrar  a equação cartesiana canônica, basta substituir t por  x e obtém-se:

.





Aplicação


Uma aplicação bem conhecida da parábola, são as antenas parabólicas que utilizam se da propriedade refletora do parábola, para ampliar a captura de sinal, para o receptor, que é posicionado no foco, e assim todos os sinais que incidem na direção do eixo da superfície paraboloide, ao serem refletidos pela antena tomam a direção do receptor.


domingo, 26 de outubro de 2014

Secções Cônicas

A parábola, a elipse e a hipérbole são conhecidas como as secções cônicas, por serem curvas que inicialmente eram obtidas da secção de cones: acutângulo, retângulo e obtusângulo. E não eram definidas como lugares geométrico num plano que satisfaziam uma propriedade, e por isso, eram classificadas por geômetras gregos como “lugares sólidos”. E por cerca, de um século e meio, foram apenas designadas pelo modo de sua descoberta, por exemplo, secção de um cone acutângulo. A figura abaixo, representa a situação acima descrita.



O trabalho mais importante sobre cônicas, foi escrito por Apolônio de Perga, o qual, superou todos os demais trabalhos realizados já publicados na época sobre cônicas. Apolônio, aparentemente pela primeira vez, mostrou que era possível obter todas as secções de um único cone, apenas alternando a inclinação do plano de secção. Visto que, até então, tais planos de secção eram sempre perpendiculares a um elemento do cone seccionado. Além de substituir o cone de uma só folha, por um duplo, aproximando as curvas antigas, ao ponto de vista moderno. E com isso, a hipérbole passou a ter dois ramos, como conhecemos hoje.
 Apolônio, ainda introduziu os nomes elipse e hipérbole, possivelmente seguindo sugestão de Arquimedes, que já teria se referido a secção de um cone retângulo por parábola.
Hoje em dia, essas curvas apresentam uma definição por lugares geométricos, em relação a pontos chamados focos. Nas próximas postagens vamos detalhar melhor cada uma das cônicas.