quarta-feira, 17 de dezembro de 2014

A Ciclóide

       A ciclóide é definida como o lugar geométrico do ponto fixo P da circunferência de um círculo de raio a, que rola com velocidade constante e sem deslizar sobre uma reta de um mesmo plano que o círculo.





      O primeiro a estudar a ciclóide foi Nicolás de Cusa (1401-1464), em 1450, quando tentava encontrar a área de um círculo por integração. Marin Mersenne (1588-1648), deu a primeira definição própria da ciclóide e expressou algumas propriedades elementares, como por exemplo: que a distância entre duas cuspides adjacentes é igual a circunfêrencia do círculo rolante. Mersenne tentou encontrar a área abaixo da curva por integração, porém não obteve sucesso, e nisso, em 1615, propôs a questão a outros matemáticos. O nome, ciclóide, foi atribuído por Galileu Galilei (1564-1642) em 1599. Que estudou suas propriedades durante 40 anos, escrevendo sobre a ciclóide para Evangelista Torricelli (1608-1647), em 1639.

      A ciclóide é a solução para um famoso problema: Determinar entre todas as curvas lisas de um plano vertical, a que une dois pontos P e P’, estando o primeiro acima do segundo, na qual uma partícula deslizará de P a P’ no menor tempo possível. Esse problema foi resolvido por Johann Bernoulli em 1696 e recebeu o nome de problema da Braquistócrona (do grego tempo mais curto). A solução também foi apresentada por Leibniz (1646-1716), Newton (1642-1727), Jacob Bernoulli (1654-1705) e L’Hôspital (1661-1704).


Parametrização


      Para a parametrização da ciclóide, partiremos que o ponto P está na origem do sistema cartesiano e o eixo x é a reta na qual o círculo de raio r rola:





Quando o círculo gira um ângulo t, seu centro O se move um comprimento BA. E como não existe deslizamento no movimento, temos que o arco AP tem a mesma medida que o segmento BA, que mede rt. Como P pertence a circunferência do círculo, temos também que: OA = r, OC = r cos(t) e PC = r sin(t). E com isso, as equações paramétricas da ciclóides são:





       Ciclóide reduzida e Alongada


     Uma generalização, é fixar uma haste de comprimento b, sobre o raio que contém o ponto P, de tal forma que uma das extremidades da haste coincida com o centro O do círculo. O lugar geométrico descrito pela outra extremidade da haste, quando o circulo rola, tem como equações paramétricas:



     Quando b menor que r chama-se a curva de ciclóide reduzida ou encurtada e quando b maior que r chama-se de ciclóide alongada. Manipule o applet  abaixo e veja como ficam essas curvas.

Um comentário:

  1. Muito bom o tópico! Os simulações interativas ajudam muito! Parabéns

    ResponderExcluir