A Elipse

     Dados dois pontos no plano, F e F', nomeados como focos, um ponto P , que se move no plano de forma que a soma das distâncias dos focos ao ponto P, se mantém sempre igual a uma constante 2a, descreve uma elipse.

Mecanismo Articulado

    Um dos mecanismos mais utilizados para traçar elipses foi o Elipsógrafo de Arquimedes. Apesar do seu nome, não existem nenhum documento que ateste sua autoria, por este matemático. Todavia, Arquimedes foi um grande mecânico e construiu mecanismos muito mais complexos que o elipsógrafo. Abaixo, o vídeo apresenta tal mecanismo.

     A reprodução do elipsógrafo de Arquimedes no GeoGebra, é constituída por uma semirreta, na qual o ponto L representa a lapiseira do mecanismo. A semirreta é fixada em dois pontos A e B móveis, os quais se movem sobre dos segmentos fixos e perpendiculares. Com isso, ao passo que se move a semirreta, como a distância entre A e B é fixa, estes pontos se movem sobre os segmentos para manter essa distância. Nesse movimento o ponto L traça a elipse. E para realizar tal movimento no GeoGebra o ponto B teve suas coordenadas associadas a um controle deslizante t, de modo que ao variar esse controle, o ponto B percorre o um segmento fixo, e com isso dando movimento a reprodução. Ao selecionar, a caixa “conferir se é uma elipse” são exibidos, os focos F e F' , os segmentos PF e PF' e um texto dinâmico no qual pode se verificar que a soma das distância do ponto L aos focos se mantém constante.

        O applet acima possui movimento, para ativá-lo basta clicar no botão no canto inferior esquerdo, ou variar o controle deslizante t.

       No elipsógrafo de Arquimedes os focos não são pontos do mecanismo, como no caso do parabológrafo, então para criá-los afim de realizar a verificação, primeiro precisamos determinar qual é a elipse que o mecanismo esta traçando.

       Tomando como origem do plano cartesiano, a intersecção dos segmentos perpendiculares fixos. E considerando que a medida dos segmentos LB e LA, sejam respectivamente a e b, e o ângulo α que a semirreta faz com o segmento fixo horizontal, das coordenadas do ponto L tiramos as seguintes equações:

      Elevando se ambas as equações ao quadrado e as somando temos:

          Logo, 

          Chegamos assim, na equação cartesiana de uma elipse. De acordo com o sistema cartesiano adotado, temos que os focos são os pontos F = (-c , 0) e F' = (c, 0), onde c² = a² - b².

Parametrização

Para determinar as equações paramétricas de uma elipse, com focos F = (-c, 0), F’ = (c, 0) de modo que a soma das distância dos pontos L da elipse aos focos seja 2a, vamos considerar duas circunferência de centro na origem de raio a e b, onde b² = a² - c². Note que isso implica que a > b. 

O applet abaixo apresenta uma elipse entre duas circunfências especificadas acima, ao alterar os controles deslizantes a e c altera-se a elipse.

         Com isso, seja um ponto L = (x, y) da elipse, por ele traçamos uma perpendicular ao eixo das abscissas que intercepta a circunferência de raio a em um ponto C = (x,y’) no mesmo quadrante. 

        Considerando o ângulo α, formado entre o segmento OC, onde O é a origem do plano cartesiano, com o eixo x positivo, temos:

         E portanto 

              Como L é um ponto da elipse então:

               Logo, 

        Com isso podemos concluir, que a paralela ao eixo x passando por L, intercepta o segmento OC, no ponto D, o qual é a intersecção da circunferência de raio b com o segmento OC.

         E portanto a elipse, tem como equações paramétricas:

Aplicação

       O primeiro a estudar a elipse foi Menecmo (380-320 a.c). Os focos de uma elipse foram estudados por Pappus de Alexandria. A elipse foi aplicada na teoria de movimentos de planetas, por Johannes Kepler (1571-1630).