A Epiciclóide

       A epiciclóide é definida como a trajetória de um ponto P, fixo a uma circunferência de um círculo de raio r, que rola exteriormente, sem deslizar e com velocidade constante, sobre a circunferência exterior de outro círculo fixo de raio R. No applet abaixo pode-se variar os valores dos raios dos círculos, além de poder restringir o número de voltar que círculo rolante dá sobre o fixo, usando o controle deslizante n.

     A epiciclóide pode ser vista como uma generalização da ciclóide, onde troca-se a reta, na qual um círculo rola, por outro círculo fixado. E como o círculo, rola sobre a circunferência exterior do fixo, o que explica o nome de epiciclóide, visto que epi vem do grego (sobre ou acima). 

    Entre alguns dos nomes que estudaram, a epiciclóide, se encontram: Alberto Durero (1471-1528), Girard Desargues (1591-1661), Isaac Newton (1642-1727), Jacob Bernoulli (1654-1705) e Leonhard Euler (1707-1783).

Parametrização

   Para determinar a parametrização, da epiciclóide, iremos considerar como origem do sistema cartesiano o centro O do círculo fixo. Por definição, os círculos são tangentes, com isso temos que, o ponto de tangência A, esta sobre o segmento OO', onde O’ é o centro do círculo rolante. Para determinar as coordenadas do ponto P, iremos analisar as coordenadas do ponto O’, e assim encontrar as coordenadas de P, em relação a O’. Tomaremos, que no início do movimento o ponto P, coincidia com o ponto de tangência, com coordenadas (R, 0), conforme figura 1.

Figura 1: Epiciclóide

          Primeiramente, toma-se como parâmetro o ângulo t formado, entre o segmento OO' e o eixo x positivo. Assim sendo as coordenadas do ponto O' são dadas por:

           Sendo B = (R, 0), o ponto de partida do ponto P, como não ocorre deslizamento no movimento, temos que para qualquer ângulo t, os arcos AB e AP possuem a mesma medida. E com isso temos que o ângulo α = OÔ’P é igual a:

           E considerando a reta perpendicular ao eixo x passando por O', temos também que o ângulo entre HÔ’P, onde H é o pé da perpendicular sobre o eixo x, é igual a:

          E com isso, podemos determinar as coordenadas do ponto P, que são:

          Usando as propriedades de diferença de arcos temos:

O traço da epiciclóide 

       O traço da epiciclóide, é sensível a razão m = R ⁄ r. Se m for um número inteiro, então o traço será constituído por m ramos, que não se cruzaram, possuindo também m cúspides, que são os contatos da curva com círculo fixo. A figura 2, apresenta um exemplo.

Figura 2: Epiciclóide de razão m = 8

      Se m, for uma fração do tipo a ⁄ b com mdc(a,b) = 1, com b ≠ 1, então o traço terá a ramos que se cruzam. E se m for um número irracional, então ao contrário dos outros dois casos, a curva não será fechada, não possuindo assim um período. A figura 3, apresenta uma exemplo.

Figura 3: Epiciclóide de razão m = 5/2

 Epiciclóide reduzida e alongada

         E como na ciclóide, pode-se generalizar fixando se uma haste de comprimento c, sobre o raio que contém o ponto P, de tal forma que uma das extremidades da haste coincida com o centro O' do círculo rolante. O lugar geométrico descrito pela outra extremidade da haste, quando o círculo rola, tem como equações paramétricas:

       E quando r > c, chama-se a curva de epiciclóide reduzida, e quando r < c chama-se de epiciclóide alongada ou epitrocoide. No applet, abaixo, pode-se manipular os valores R, r, c, e ver como fica o traço da curva.

Casos Especiais

       Há dois casos especiais da epiciclóide, quando R = r, tem-se a cardióide, conforme a figura 4.

Figura 4: Cardióide

Quando R = 2r, tem-se a nefroide, conforme a figura 5.

 

Figura 5: Nefróide 

     O primeiro a atribuir o nome cardióide a curva foi Francesco de Castillon (1704-1791). Seu nome é devido a sua semelhança com um coração: da palavra grega kardia (coração) e eidos (forma). 

      E o nome da nefróide tem sua origem no termo grego nephros, que significa forma de rim, e foi empregado por Proctor em 1878. Essa curva começou a ser estudada por Huygens e Tschirnhausen em 1679. Alguns anos depois, os irmãos Bernoulli dedicaram seus esforços: Jacob Bernoulli em 1692 e Daniel Bernoulli em 1725.