A hipérbole

           Dados, dois pontos no plano, F e F' nomeados focos. Um ponto P, que se move no plano de forma que a diferença das distâncias dos focos ao ponto P, se mantém constante, igual a 2a. descreve no plano um ramo de uma hipérbole.

       Se as coordenadas dos focos dados são: (-c,0) e (c,0), para c > 0 então se P = (x,y) temos que:

          Simplificando a equação acima , temos a equação cartesiana de uma hipérbole:

          

         Um mecanismo que traça hipérbole é o Hiperbológrafo de Delaunay, constituído por um losango ABCD articulado, três retas, concorrentes num mesmo ponto O, das quais duas são perpendiculares entre si, e a outra é obliqua. Na reta obliqua, tem-se um ponto M, o qual esta ligado, por segmentos de mesma medida e menor que a medida do losango, aos vértices A e C do losango, os quais estão sobre uma das outras duas retas. Com isso, a medida que o ponto M se move na reta obliqua, ele movimenta os vértices A e C sobre outra reta. Nos vértices B e D, encontram-se lapiseiras, as quais traçam, cada uma, um ramo da hipérbole.

               

     Será que se trata mesmo de uma hipérbole? Vamos mostrar que o mecanismo traça, de fato, uma hipérbole. Para isso, escolhendo as duas retas do mecanismo, perpendiculares entre si, como os eixos de um sistema de coordenadas retangulares, mostraremos que as coordenadas dos pontos que traçam a curva, respeitam a equação cartesiana de uma elipse.

     Designando como o eixo das ordenadas o reta na qual se movem os vértices A e C, e o ponto O, que é a intersecção entre as três retas do mecanismo, será a origem do sistema de eixos. E portanto como o eixo das abscissas a reta perpendicular a ela. 

     Considerando a diagonal BD, das propriedades de um losango, sabemos que o segmento BD, está contido na mediatriz do segmento AC, e que portanto é perpendicular ao eixo das ordenadas. Como M é equidistante dos pontos A e C ele também pertence a mediatriz do segmento AC. As coordenadas dos pontos M, B, D são respectivamente (x',y), (-x,y) e (x,y).

    E temos que o ponto M pertence a uma reta que passa pela origem portanto suas coordenadas, respeitam uma equação do tipo: y = kx, onde k é um número real, não nulo. Disso tiramos que suas coordenadas são: ( y/k, y).

       Agora sendo u a medida dos lados do losango e v a medida dos segmentos AM e CM, note que com isso u > v. E sendo S a intersecção das diagonais AC e BD, temos, pelo triângulo retângulo SAD, que:

       E pelo triângulo retângulo SAM temos que:

       Então subtraindo a segunda da primeira temos que:

      Dividindo ambos os membros da equação por (u² - v²) temos que:

         Fazendo a² = u² - v² e b² = k²(u² - v²) temos que:

         

   Isso para as coordenadas do ponto D, porém temos que as coordenadas do ponto B são (-x,y), que respeitarão a mesma equação a cima, visto que (-x)² = x².

    Agora analisemos um pouco o mecanismo, a medida a determina o valor do semi-eixo da hipérbole, e são os tamanhos dos lados do losango e do segmento AM, que determinam o valor de a E se nos perguntarmos quais os elementos que determinam as coordenadas dos focos, sabemos que os focos possuem coordenadas (-c,0) e (c,0) onde c² = a² + b². E com isso, analisando veremos que as coordenadas dos focos dependem da inclinação k da reta onde o ponto M se desloca, além é claro das medidas dos lados do losango e do segmento AM.

Parametrização

      Considerando as funções cosseno hiperbólico e seno hiperbólico dadas, respectivamente, por

Como cosh²(t) - senh² (t) = 1, podemos parametrizar o ramo direito da hipérbole pelo traço da curva α definida pelas seguintes equações paramétricas:

Aplicação

      A hipérbole tem como propriedade refletora que se a partir de qualquer ponto C for direcionado um sinal a um dos focos, estando este foco no lado oposto a um dos ramos da curva, em relação ao ponto C, então o sinal ao incidir sobre um ramo da hipérbole, será refletido tomando a direção do outro foco. O applet, abaixo, apresenta esta propriedade, onde os controles deslizantes a e b referem-se aos coeficientes da equação cartesiana mencionada acima.

    Uma aplicação dessa propriedade, são os telescópios de reflexão. Os quais são constituídos basicamente por dois espelhos, um maior, chamado de primário, o qual é parabólico, e um menor, hiperbólico. Os espelhos são dispostos, de forma que os eixos da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da primeira coincida com um dos focos da segunda.

  Quando os raios de luz paralelos ao eixo da parábola, são refletidos pelo espelho primário são dirigidos ao foco, pela propriedade refletora da parábola. E como este também é foco da hipérbole, pela propriedade refletora da hipérbole os raios de luz são refletidos e dirigidos ao outro foco da hipérbole. Os raios passam por um orifício, no centro do espelho primário, atrás do qual encontra-se um lente ocular que permite corrigir a trajetória da luz, que chega finalmente aos olhos do observador ou à película fotográfica.